Question

已知f（t）=log₂t，t∈[

2

，8]，對(duì)于f（t）值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式x²+mx+4＞2m+4x恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由t∈[

2

，8]，得f（t）∈[

1

2

，3]，x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]，問題轉(zhuǎn)化為g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒對(duì)于0，由此能求出x的取值范圍．

解答： 解：∵t∈[

2

，8]，∴f（t）∈[

1

2

，3]
原題轉(zhuǎn)化為：m（x-2）+（x-2）²＞0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）
當(dāng)x=2時(shí)，不等式不成立．
∴x≠2．令g（m）=m（x-2）+（x-2）²，m∈[

1

2

，3]
問題轉(zhuǎn)化為g（m）在m∈[

1

2

，3]上恒大于0，
則：

g( 1 2 )＞0 g(3)＞0

，
解得：x＞2或x＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查x的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．