Question

三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A₁B₁C₁，直線A₁A⊥平面ABC，A₁A=

3

，AB=AC=2，A₁C₁=1，|

BA

-

AC

|=

3

，D是BC的中點．
（1）證明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）求三棱臺ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可鄭明明平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）根據(jù)三棱臺的體積公式即可求出三棱臺ABC-A₁B₁C₁的體積．

解答： 解：（1）∵A₁ A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁ A⊥BC．
∵|

BA

-

AC

|=

3

，AB=AC=2
∴∠BAC=60°，∴△ABC為正三角形，即AD⊥BC．
又A₁ A∩AD=A，∴BC⊥平面A₁AD，
∵BC?平面BCC₁B₁，
∴平面A₁ AD⊥平面BCC₁B1．
（2）∵△ABC為邊長為2的正三角形，∴△A₁B₁C₁為邊長為1的正三角形，
三棱臺的高A₁A=

3

，
則S_下=

1

2

×22×

3

2

=

3

，S_上=

1

2

×12×

3

2

=

3

4

則三棱臺ABC-A₁B₁C₁的體積V=

1

3

（S_上+S_下+

S上•S下

）•A₁A=

1

3

×(

3

+

3

4

+

3 × 3 4

)×

3

=

7

4

．

點評：本題考查空間面面垂直的判定以及三棱臺的體積計算，要求熟練掌握面面垂直的判定定理以及三棱臺的體積公式．