Question

8．已知函數$f（x）=sinx-2\sqrt{3}{sin^2}\frac{x}{2}$
（1）求f（x）的最小正周期和單調減區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間$[0，\frac{2}{3}π]$上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的減區(qū)間上，解不等式得函數的單調遞減區(qū)間；
（2）x∈$[0，\frac{2}{3}π]$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，即可求出f（x）的最小值．

解答 解：函數$f（x）=sinx-2\sqrt{3}{sin^2}\frac{x}{2}$=sinx-$\sqrt{3}（1-cosx）$=sinx+$\sqrt{3}$cosx-$\sqrt{3}$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（1）函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$．
由$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$是單調減函數，
解得：$\frac{π}{6}+2kπ≤x≤\frac{7π}{6}+2kπ$，（k∈Z）
∴f（x）的單調減區(qū)間為[$\frac{π}{6}+2kπ$，$\frac{7π}{6}+2kπ$]，（k∈Z）．
（2）∵x∈$[0，\frac{2}{3}π]$上，則x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
根據三角函數的圖象和性質可知：當x+$\frac{π}{3}$=π時，函數f（x）取得最小值．
即$f（x）_{min}=sinπ-\sqrt{3}=-\sqrt{3}$
故得f（x）在區(qū)間$[0，\frac{2}{3}π]$上的最小值為$-\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．