Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0（m∈R）．
（1）試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（2）設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為120°，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）判斷直線過定點(diǎn)A（1，1），利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（2）根據(jù)直線l的傾斜角為120°，求出直線的斜率以及直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式即可求弦AB的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）由mx-y+1-m=0得m（x-1）-y+1=0，則直線過定點(diǎn)A（1，1），
圓心坐標(biāo)為C（0，1），半徑R=

5

，
則AC=1＜

5

，
∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，即直線l與圓C相交；
（2）若直線l的傾斜角為120°，
則直線的斜率k=tan120°=-

3

，
即m=-

3

，
∴直線l的方程為-

3

x-y+1+

3

=0，
圓心到直線的距離d=

|0-1+1+ 3 |

(- 3 )2+(-1)2

=

3

4

=

3

2

，
則弦AB=2

R2-d2

=2

5-( 3 2 )2

=2

11 4

=

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．