Question

已知f（x）=2ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）+b=0在區(qū)間[-1，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用函數(shù)在在x=0處取得極值，得到f'（0）=0，可求a．
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+b=2ln（x+2）-x²-x+b，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ），當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極值，
∴f'（x）=0，解得a=2，檢驗(yàn)a=2符合題意．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+b=2ln（x+2）-x²-x+b，則 ，
當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，g'（x）＞0，∴g（x）在（-2，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
要使f（x）+b=0在區(qū)間[-1，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
只需，
∴-2ln2＜b≤2-2ln3．
點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值和最值之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)．