Question

已知橢圓的離心率，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知B為橢圓C在y軸的左測(cè)上一點(diǎn)，線段BF與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，且滿足，求p的最大值．

Answer 1

解：（1）∵的離心率，∴．①
而右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線之距．②
又a²=b²+c² ③
由①②③解之得，b=1．
從而所求橢圓方程為．
（2）橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)B在橢圓上，
設(shè)B（x₀，y₀），其中，設(shè)A（x_A，y_A）
由，得（x₀-x_A，y₀-y_A）=2（x_A-1，y_A）
∴．
由點(diǎn)A在拋物線y²=2px上，得．
又，
∴．
令t=x₀+2，則，
即．
∵．∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．
∴．
又當(dāng)時(shí)，為橢圓在y軸左側(cè)上的點(diǎn)．
故p的最大值為．
分析：（1）由已知離心率及點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，列方程即可得a、b、c的值；（2）設(shè)B（x₀，y₀），A（x_A，y_A），利用向量相等的意義得兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，分別代入橢圓和拋物線方程即可得p關(guān)于
x₀的函數(shù)，利用換元法求值域即可
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用函數(shù)求最值的思想方法，向量在解析幾何中的應(yīng)用