Question

1．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左，右焦點分別是F₁，F₂，點P在雙曲線上，且滿足∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂=60°，則此雙曲線的離心率等于（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$-2
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 2$\sqrt{3}$+2

Answer 1

分析 根據點P為雙曲線上一點，且∠PF₁F₂=30°，∠PF₂F₁=60°，可得|PF₁|=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=c，利用雙曲線的定義，可求雙曲線的離心率．

解答 解：設雙曲線的焦距長為2c，
∵點P為雙曲線上一點，且∠PF₁F₂=30°，∠PF₂F₁=60°，
∴P在右支上，∠F₂PF₁=90°，
即PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2csin60°=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=2ccos60°=c，
∴由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=（$\sqrt{3}$-1）c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，解題的關鍵是確定|PF₁|=$\sqrt{3}$c，|PF₂|=c，運用定義法和離心率公式，屬于中檔題．