Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)，AD=CD．
（1）證明PA∥平面BDE；   
（2）證明AC⊥平面PBD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC∩BD=H，連結(jié)EH．只要證明EH∥PA．
（2）由（1）可得，DB⊥AC．因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．根據(jù)線面垂直的判定定理可證．

解答： 證明：（1）設(shè)AC∩BD=H，
連結(jié)EH．在△ADC中，因?yàn)锳D=CD，且DB平分
∠ADC，所以H為AC的中點(diǎn)．
又由題設(shè)，E為PC的中點(diǎn)，故EH∥PA．
又EH?平面BDE且PA?平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
證明：（2）因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC．
由（1）可得，DB⊥AC．
又PD∩DB=D，
故AC⊥平面PBD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是熟練判定定理的體積，正確運(yùn)用．