Question

14．設(shè)等差數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)之和分別為S_n、T_n．若對任意n∈N^*有①（n+3）S_n=（3n+1）T_n；②a${\;}_{{n}^{2}+27}$≥λ•b_n均恒成立，且存在n₀∈N^*，使得實(shí)數(shù)λ有最大值，則n₀=（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 由①（n+3）S_n=（3n+1）T_n，n=1時，a₁=b₁．n為奇數(shù)時，S_n=$（1+\frac{n}{2}）$${a}_{\frac{n+1}{2}}$．T_n=$（1+\frac{n}{2}）$$_{\frac{n+1}{2}}$．可得$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{3n+1}{n+3}$，令t=$\frac{n+1}{2}$，可得n=2t-1．不妨設(shè)a_t=3t-1，b_t=t+1．即a_n=3n-1，b_n=n+1．由②可得：λ≤$\frac{{a}_{{n}^{2}+27}}{_{n}}$，即λ≤$\frac{3（{n}^{2}+27）-1}{n+1}$，化簡利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：由①（n+3）S_n=（3n+1）T_n，n=1時，a₁=b₁．n為奇數(shù)時，S_n=$（1+\frac{n}{2}）$${a}_{\frac{n+1}{2}}$．T_n=$（1+\frac{n}{2}）$$_{\frac{n+1}{2}}$．
∴$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{3n+1}{n+3}$，令t=$\frac{n+1}{2}$，可得n=2t-1．不妨設(shè)a_t=3t-1，b_t=t+1．即a_n=3n-1，b_n=n+1．
由②可得：λ≤$\frac{{a}_{{n}^{2}+27}}{_{n}}$，即λ≤$\frac{3（{n}^{2}+27）-1}{n+1}$=$\frac{3（n+1）^{2}-6（n+1）+83}{n+1}$=3（n+1）+$\frac{83}{n+1}$-6，
令f（x）=3x+$\frac{83}{x}$，（x≥2），則f′（x）=$3-\frac{83}{{x}^{2}}$=$\frac{3{x}^{2}-83}{{x}^{2}}$=$\frac{3（x+\sqrt{\frac{83}{3}}）（x-\sqrt{\frac{83}{3}}）}{{x}^{2}}$，
f（5）=15+$\frac{83}{5}$，f（6）=18+$\frac{83}{6}$，f（6）-f（5）＞0，
∴n∈N^*時，f（5）取得最小值．
則n₀=5．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．