Question

求證：函數(shù)f(x)=

2

x

-x在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

Answer 1

分析：利用單調(diào)性的定義來(lái)證明函數(shù)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，先設(shè)出任意兩個(gè)正數(shù)變量，表明它們的大小關(guān)系，對(duì)兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值做差，合并同類項(xiàng)，通分整理，最終形式是變化為因式的積或商的形式，這樣就可以根據(jù)條件判斷差和零的關(guān)系，得到結(jié)論．

解答：證明：任取0＜x₁＜x₂，
有f(x1)-f(x2)=

2

x1

-x1-(

2

x2

-x2)=(

2

x1

-

2

x2

)-(x1-x2)=

2(x2-x1)

x1x2

-(x1-x2)=(x2-x1)•(

2

x1x2

+1)
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，

2

x1x2

+1＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
所以，函數(shù)f(x)=

2

x

-x在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查對(duì)于代數(shù)式的整理，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目經(jīng)常考到，可以作為一個(gè)解答題目的一問(wèn)出現(xiàn)，這種題目的證法一般只有兩種，一是用定義，二是用導(dǎo)數(shù)．