Question

求證：函數(shù)f(x)=

5

x-1

在(1，+∞)上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：定義法：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，作差得出f（x₁）-f（x₂），變形可判f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，可得函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

5

x1-1

-

5

x2-1

=

5(x2-1)-5(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

5(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴

5(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f(x)=

5

x-1

在(1，+∞)上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，涉及函數(shù)單調(diào)性證明的定義法和式子變形的能力，屬基礎(chǔ)題．