Question

9．已知關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的二元一次不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}}\right.$．
（Ⅰ）在右下圖坐標(biāo)系內(nèi)畫出該不等式組所表示的平面區(qū)域，并求其面積；
（Ⅱ）求$\frac{y}{x+1}$的取值范圍；
（Ⅲ）求x²+y²的最小值，并求此時(shí)x，y的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）畫出的可行域，求出角點(diǎn)坐標(biāo)然后求其面積；
（Ⅱ）通過$\frac{y}{x+1}$的幾何意義求解表達(dá)式的取值范圍；
（Ⅲ）利用x²+y²的幾何意義，求出最小值，并求此時(shí)x，y的值．

解答 解：實(shí)數(shù)x，y的二元一次不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}}\right.$的可行域如圖：
（Ⅰ）平面區(qū)域是三角形，三角形的面積為：2×3-$\frac{1}{2}×2×1-$$\frac{1}{2}×3×1$-$\frac{1}{2}×2×1$=$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）$\frac{y}{x+1}$的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與Q（-1，0）連線的斜率，$\frac{y}{x+1}$∈[0，k_AQ]，
k_AQ=2，
$\frac{y}{x+1}$的取值范圍：[0，2]；
（Ⅲ）x²+y²的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線距離的平方，可知O到AC直線的距離取得最小值，AC方程：2x+y-2=0，x²+y²的最小值：$（{\frac{2}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}）}^{2}$=$\frac{4}{5}$，過O與AC垂直的直線為：x-2y=0，由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2=0}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力，注意目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．