分析:(1)由T
n=1-a
n,
an=,n≥2,知
Tn=1-,從而
-=1,由此能證明數(shù)列{b
n}是等差數(shù)列.
(2)由(1)知b
n=2+(n-1)=n+1,從而c
n=(n+1)•2
n,故S
n=2•2+3•2
2+…+(n+1)•2
n,利用錯位相減法能求出數(shù)列{c
n}的前n項和S
n.
(3)由
Tn==,知n≥2時,
an==,由
a1=,知
an=,n∈N* ,由此利用放縮法能夠證明
an+1-<An≤-.
解答:解:(1)∵T
n=1-a
n,
an=,n≥2,
∴
Tn=1-,從而
-=1,(n≥2)
∴b
n-b
n-1=1,(n≥2)
∵T
1=a
1=1-a
1,
∴
a1=,
b1===2,
∴{b
n}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列.
(2)由(1)知b
n=2+(n-1)=n+1,從而c
n=(n+1)•2
n,
∴S
n=2•2+3•2
2+…+(n+1)•2
n,
2S
n=2•2
2+3•2
3+…+n•2
n+(n+1)•2
n+1,
兩式相減,得-S
n=4+(2
2+2
3+…+2
n)-(n+1)•2
n+1=4+
-(n+1)•2
n+1=-n•2
n+1,
∴S
n=n•2
n+1.
(3)∵
Tn==,
∴n≥2時,
an==,
∵
a1=,∴
an=,n∈N* ,
An=T12+T22+…+Tn2=
++…+>
++…+=
-+
-+…+
-=
-=
an+1-,
∴
An>an+1-,
又∵當n≥2時,
An=T12+T22+…+Tn2=
++…+=
++…+<++
+…+=
+-+-+…+-=
+-=
an-,
an+1-<An≤-.
點評:本題考查等差數(shù)列的證明,考查前列的前n項和的求法,考查不等式的證明,解題時要認真審題,注意錯位相減法和放縮法的合理運用.