設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項之積,滿足Tn=1-an(n∈N*).
(1)設(shè),證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求bn和an;
(2)設(shè)Sn=T12+T22+…+Tn2求證:an+1-<Sn≤an-
【答案】分析:(1)首先利用數(shù)列{an}的前n項積Tn與通項之間的關(guān)系分類討論寫出相鄰項滿足的關(guān)系式,然后兩式作商,再利用,利用作差法即可獲得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.由此可以求的數(shù)列{bn}的通項公式,進而求得Tn然后求得數(shù)列{an}的通項公式;
(2)Sn=T12+T22+…+Tn2=,再進行放縮可證.
解答:解:(1)∵Tn=1-an(n∈N*).,∴,∴
,∴bn-bn-1=1,∵Tn=1-an,∴,∴,∴數(shù)列{bn}是以2為首項,以1為公差的等差數(shù)列,∴bn=n+1,∴,∴
(2)Sn=T12+T22+…+Tn2=

當(dāng)n≥2時,=
當(dāng)n=1時,
∴Sn≤an-,∴an+1-<Sn≤an-
點評:本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了構(gòu)造思想、放縮法解決不等式的證問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項之積,滿足Tn=1-an(n∈N*).
(1)設(shè)bn=
1
Tn
,證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求bn和an
(2)設(shè)Sn=T12+T22+…+Tn2求證:an+1-
1
2
<Sn≤an-
1
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項乘積,滿足Tn=1-an(n∈N*)
(1)設(shè)bn=
1
Tn
,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)cn=2n•bn,求證數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)設(shè)An=
T
e
1
+
T
e
2
+…
T
e
n
,求證:an+1-
1
2
An≤-
1
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項的積,即Tn=a1•a2…an
(1)若Tn=n2,求a3a4a5的值;
(2)若數(shù)列{an}各項都是正數(shù),且滿足Tn=
a
2
n
4
((n∈N*),證明數(shù)列{log2an}為等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(3)數(shù)列{an}共有100項,且滿足以下條件:①a1•a2…a100=2;②等式a1•a2…ak+ak+1•ak+2…a100=k+2對1≤k≤99,k∈N*恒成立.試問符合條件的數(shù)列共有多少個?為什么?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項乘積,滿足Tn=1-an(n∈N*)
(1)設(shè)bn=
1
Tn
,求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)cn=2n•bn,求證數(shù)列{cn}的前n項和Sn
(3)設(shè)An=
Te1
+
Te2
+…
Ten
,求證:an+1-
1
2
An≤-
1
4

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案