已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足;
OA
+
OB
+
OC
=
0
,|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=
3
,又
PC
=2
BP
,則
AP
AB
=
7.5
7.5
_
分析:可判三角形為等邊三角形,由正弦定理可得向量夾角的正弦值,進(jìn)而可得余弦值,由數(shù)量積的定義可得答案.
解答:解:∵|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=
3
,∴O為△ABC的重心,
OC
AB
=
OC
•(
OB
-
OA
)
=-(
OA
+
OB
)•(
OB
-
OA
)

=(
OA
+
OB
)•(
OA
-
OB
)
=
OA
2
-
OB
2
=0可得
OC
AB
,
同理可得
OA
BC
,
OB
AC
,即O為垂心,
故△ABC為等邊三角形,且邊長(zhǎng)為3
PC
=2
BP
,故P為邊BC的三等分點(diǎn),
在直角三角形ADP中,易得AP=
AD2+PD2
=
(
3
3
2
)2+(
1
2
)2
=
7
,
進(jìn)而可得sin∠APB=sin∠APD=
AD
AP
=
3
3
2
7

故在△ABP中,由正弦定理可得
BP
sin∠BAP
=
AB
sin∠APB
,
代入可得
1
sin∠BAP
=
3
3
3
2
7
,解得sin∠BAP=
3
2
7
,所以cos∠BAP=
5
2
7

AP
AB
=
7
×3×
5
2
7
=7.5
故答案為:7.5
點(diǎn)評(píng):本題考查向量的數(shù)量積,涉及三角形形狀的判斷和正弦定理,屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且
OA
 =m
OB
 +n
OC
(其中m<0、n<0),S△AOB:S△AOC=2:3,則
m
n
=
3
2
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且
OA
 =m
OB
 +n
OC
(其中m<0、n<0),S△AOB:S△AOC=2:3,則
m
n
=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年四川省成都市望子成龍學(xué)校高一(上)期末數(shù)學(xué)模擬試卷(文科)(解析版) 題型:填空題

已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足;,,又,則=    _

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009年江蘇省南通市啟東中學(xué)高三5月考前輔導(dǎo)特訓(xùn)數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且(其中m<0、n<0),S△AOB:S△AOC=2:3,則=   

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