如圖,四棱錐中,平面平面,//,,
,且,.
(1)求證:平面;
(2)求和平面所成角的正弦值;
(3)在線段上是否存在一點使得平面平面,請說明理由.
(1)證明過程詳見解析;(2);(3)在線段上存在一點使得平面平面.
解析試題分析:本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線面角、向量法等基礎知識,考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力、轉化能力.第一問,在中,求出,在中,求出, 在中,三邊符合勾股定理,所以, 利用面面垂直的性質,得平面; 第二問,利用第一問的證明得到垂直關系,建立空間直角坐標系,得到平面BDF和平面CDE中各點的坐標,得出向量坐標,先求出平面CDE的法向量,利用夾角公式求BE和平面CDE所成的角的正弦值;第三問,假設存在F,使得,用表示,求出平面BEF的法向量,由于兩個平面垂直,則兩個法向量垂直,則, 解出.
(1)由,.,
可得.
由,且,
可得.
又.
所以.
又平面平面,
平面 平面 ,
平面,
所以平面. 5分
(2)如圖建立空間直角坐標系,
則,,,,
,,.
設是平面的一個法向量,則,,
即
令,則.
設直線與平面所成的角為,
則.
所以和平面所成的角的正弦值. 10分
(3)設,.
,,.
則.
設是平面一個法向量,則,,
即
令,則.
若平面平面,則,即
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖(1),在三角形ABC中,BA=BC=2√乏,ZABC=900,點0,M,N分別為線段的中點,將AABO和AMNC分別沿BO,MN折起,使平面ABO與平面CMN都與底面OMNB垂直,如圖(2)所示.
(1)求證:AB//平面CMN;
(2)求平面ACN與平面CMN所成角的余
(3)求點M到平面ACN的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖1,直角梯形中,,分別為邊和上的點,且,.將四邊形沿折起成如圖2的位置,使.
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,且PC⊥平面ABCD,PC=AC=2,E是PA的中點。
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)若直線PA與平面PBC所成角為30°,求二面角P-AD-C的正切值;
(3)求證:直線PA與平面PBD所成的角φ為定值,并求sinφ值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(2013•天津)如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,
AA1=AB=2,E為棱AA1的中點.
(1)證明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.
(3)設點M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長.
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