Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為4，F(xiàn)₁F₂分別是橢圓C的左，右焦點，直線y=x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點為A，△AF₁F₂的面積為2

6

，點P（x₀，y₀），是橢圓C上的動點w．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若∠F₁PF₂為鈍角，求點P的橫坐標x₀的取值范圍；
（3）求

3

PF₁+

2

PA的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得b=2，①，設A（x，x）（x＞0），則

x2

a2

+

x2

b2

=1，②結(jié)合△AF₁F₂的面積為2

6

，有cx=2

6

③，由①②③得a，最后寫出橢圓C的方程；
（2）設p（x，y），根據(jù)橢圓方程求得兩焦點坐標，根據(jù)∠F₁PF₂是鈍角推斷出PF₂¹+PF₂²＜F₁F₂²代入p坐標求得x和y的不等式關系，求得x的范圍．
（3）過點P向橢圓右準線做垂線，垂足為B，根據(jù)橢圓方程求得離心率和準線方程，進而根據(jù)橢圓的第二定義，進而可判定當P，A，B三點共線時有最小值，從而求得答案．

解答：解：（1）∵2b=4，∴b=2，①
由題意，設A（x，x）（x＞0），則

x2

a2

+

x2

b2

=1，②
△AF₁F₂的面積為2

6

，∴cx=2

6

③，
由①②③得：a=2

3

，橢圓C的方程為：

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）設p（x，y），則 F₁（-2

2

，0），F(xiàn)₂（2

2

，0），
且∠F₁PF₂是鈍角
?PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²?（x+2

2

）²+y²+（x-2

2

）²+y²＜32
?x²+y²＜8?-

3

＜x＜

3

．
（3）橢圓

x2

12

+

y2

4

=1與y=x（x＞0）解得A（

3

，

3

），
自P作橢圓左準線的垂線，垂足為H，∵

PF 1

PH

=

c

a

=

2

3

，
左準線方程：x=-3

2

，
∴

3

PF₁+

2

PA即為：

2

（PH+PA）
當A，P，H三點共線時，其和最小，
|PA|+|PB|的最小值為|AB|，
因點A到左準線的距離為：

3

+3

2

，
∴

3

PF₁+

2

PA的最小值

2

（

3

+3

2

）=6+

6

．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)和解不等式，∠F₁PF₂是鈍角推斷出PF₂¹+PF₂²＜F₁F₂²，是解題關鍵，本題還考查學生的作圖能力和應用橢圓的第一定義和第二定義來求最值的能力．屬基礎題．