Question

7．已知二項(xiàng)式（2x+$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開式中第3項(xiàng)系數(shù)與第4項(xiàng)系數(shù)相等，求含$\frac{1}{{x}^{2}}$的項(xiàng)．

Answer 1

分析 T_r+1=${∁}_{n}^{r}$（2x）^n-r$（\frac{1}{x}）^{r}$=2^n-r${∁}_{n}^{r}$•x^n-2r．（n≥3）．根據(jù)第3項(xiàng)系數(shù)與第4項(xiàng)系數(shù)相等，可得2^n-2${∁}_{n}^{2}$=2^n-3${∁}_{n}^{3}$，解出n，再利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：T_r+1=${∁}_{n}^{r}$（2x）^n-r$（\frac{1}{x}）^{r}$=2^n-r${∁}_{n}^{r}$•x^n-2r．（n≥3）．
∵第3項(xiàng)系數(shù)與第4項(xiàng)系數(shù)相等，
∴2^n-2${∁}_{n}^{2}$=2^n-3${∁}_{n}^{3}$，
∴2×$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{n（n-1）（n-2）}{6}$，
化為：n-2=6，解得n=8．
∴T_r+1=2^8-r${∁}_{8}^{r}$x^8-2r，
令8-2r=-2，解得r=5．
∴T₆=8${∁}_{8}^{5}$x^-2=448×$\frac{1}{{x}^{2}}$．
∴含$\frac{1}{{x}^{2}}$的項(xiàng)為第六項(xiàng)，為$\frac{448}{{x}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．