Question

17．己知首項為x₁的數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=$\frac{4{x}_{n}-2}{{x}_{n}+1}$．請解答下列問題：
（1）若x₁=$\frac{49}{65}$，試問：數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列？說明理由．
（2）若無窮數(shù)列{x_n}是一個常數(shù)列，試求x₁；
（3）若無窮數(shù)列{x_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，試求x₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式逐一求出數(shù)列前4項，得到x₄=-1，此時遞推式分母為0，則說明數(shù)列只有4項，為有窮數(shù)列；
（2）由已知窮數(shù)列{x_n}是一個常數(shù)列，即對于任意自然數(shù)n，均有x_n+1=x_n則得到x_n²-3x_n+2=0，解方程即得x₁；
（3）數(shù)列{x_n}是遞增數(shù)列，轉化為研究數(shù)列{x_n}的單調(diào)性，不等式恒成立問題，然后利用導數(shù)求得答案．

解答 解：（1）由x_n+1=$\frac{4{x}_{n}-2}{{x}_{n}+1}$，x₁=$\frac{49}{65}$，得
${x}_{2}=\frac{4×\frac{49}{65}-2}{\frac{49}{65}+1}=\frac{11}{19}$，${x}_{3}=\frac{4×\frac{11}{19}-2}{\frac{11}{19}+1}=\frac{1}{5}$，${x}_{4}=\frac{4×\frac{1}{5}-2}{\frac{1}{5}+1}=-1$，
當n=4時，x₅無意義，∴數(shù)列{x_n}是有窮數(shù)列，僅有4項；
（2）無窮數(shù)列{x_n}是一個常數(shù)列，即每一項均為一相同的常數(shù)
即x_n+1=x_n，得到x_n²-3x_n+2=0，解得x_n=1或x_n=2，即x₁=1或x₁=2；
（3）由x_n+1=$\frac{4{x}_{n}-2}{{x}_{n}+1}$，得${x}_{n+1}-1=\frac{3{x}_{n}-3}{{x}_{n}+1}$，則${x}_{n+1}-2=\frac{2{x}_{n}-4}{{x}_{n}+1}$，
兩式作比得：$\frac{{x}_{n+1}-1}{{x}_{n+1}-2}=\frac{3}{2}•\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}-2}$，
可得數(shù)列{$\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}-2}$}是以x₁為首項，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，
設x₁=m，則$\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}-2}=\frac{m-1}{m-2}（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
則${x}_{n}=2+\frac{1}{\frac{m-1}{m-2}（\frac{3}{2}）^{n-1}-1}$，數(shù)列{x_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，則
g（n）=$\frac{m-1}{m-2}（\frac{3}{2}）^{n-1}-1$單調(diào)遞減，
∴g′（n）=$\frac{m-1}{m-2}（\frac{3}{2}）^{n-1}ln\frac{3}{2}$在n∈N^*時恒小于0，
∵$（\frac{3}{2}）^{n-1}ln\frac{3}{2}＞0$，∴$\frac{m-1}{m-2}＜0$，即m∈（1，2）．
∴x₁的取值范圍是（1，2）．

點評 本題考查等比數(shù)列判定、通項公式，分數(shù)不等式、指數(shù)運算，不等式恒成立問題．考查分析解決問題、變形構造、計算等能力，屬難題．