Question

已知橢圓C：

x2

5

+

y2

4

=1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P（5，0）的直線l與橢圓C交于Q、R，且

PR

=λ

PQ

(λ＞1)．
（1）若λ=

3

2

，求直線l的方程；
（2）試用λ表示Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并求出λ的最大值；
（3）若點(diǎn)S是點(diǎn)R關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求證：

SF

=λ

FQ

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用

PR

=

3

2

PQ

，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用點(diǎn)在橢圓上，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線l的方程；
（2）利用

PR

=λ

PQ

，可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，再利用點(diǎn)在橢圓上，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，R在長(zhǎng)軸上時(shí)，λ最大；
（3）由（2）知，S（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0），用坐標(biāo)表示向量，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
∵

PR

=

3

2

PQ

，∴（x₁-5，y₁）=

3

2

（x₂-5，y₂）
∴x₁=

3

2

x₂-

5

2

，y₁=

3

2

y₂，
∵

x12

5

+

y12

4

=1，

x22

5

+

y22

4

=1
∴x2=

5

3

，y2=±

4

3

∵P（5，0），∴直線l的斜率為±

2

5

∴直線l的方程為y=±

2

5

（x-5）；
（2）解：∵

PR

=λ

PQ

，∴（x₁-5，y₁）=λ（x₂-5，y₂）
∴x₁=λx₂-5λ+5，y₁=λy₂，
∵

x12

5

+

y12

4

=1，

x22

5

+

y22

4

=1
∴x2=3-

2

λ

當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，R在長(zhǎng)軸上時(shí)，λ最大，此時(shí)|PQ|=5-

5

，|PR|=5+

5

，
∴λ=

3

2

+

5

2

（3）證明：由（2）知，S（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0）
∴

SF

=（1-x₁，y₁），

.

FQ

=（x₂-1，y₂），
∵x₁=λx₂-5λ+5，y₁=λy₂，x2=3-

2

λ

∴

SF

=λ

FQ

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定坐標(biāo)之間的關(guān)系．