Question

如圖，四邊形與均為菱形，設(shè)與相交于點(diǎn)，若，且.

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）余弦值為.

試題分析：本題主要考查線面平行、面面平行、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問，先根據(jù)菱形的定義得，，再根據(jù)線面平行的判定得，，再根據(jù)面面平行的判定得面面，從而證明；第二問，先根據(jù)已知條件得建立空間直角坐標(biāo)系的最基本的條件，即兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用夾角公式求出夾角并判斷二面角為銳二面角，所以所求余弦值為正值.
試題解析：(1) 證明：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824030606666524.png" style="vertical-align:middle;" />與均為菱形，
所以，.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824030607103764.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，    2分
又，，，
所以
又，
所以               4分
(2) 連接、,因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824030606681528.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形，且，所以為等邊三角形，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824030606744291.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn).所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824030606744291.png" style="vertical-align:middle;" />為中點(diǎn),且，
所以
又，所以                    .6分
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
設(shè)，因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824030606666524.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形，，
則，，，
所以       ..8分
所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有,所以，令，則
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824030607633708.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面的一個(gè)法向量為   .10分
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824030606853551.png" style="vertical-align:middle;" />為銳二面角，設(shè)二面角的平面角為
則
所以二面角的余弦值為                  ..12分