Question

如圖，正四棱錐P-ABCD中，AB=2，PA=，AC、BD相交于點(diǎn)O
求：（1）直線BD與直線PC所成的角；
（2）平面PBC與平面PAC所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)條件得到OP⊥平面ABCD并求出OP=1；然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出，的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算其數(shù)量積即可得到結(jié)論．
（2）先求出兩個(gè)平面的法向量，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可得到答案．
解答：解：（1）因?yàn)樗睦忮FP-ABCD為正四棱錐，
0為AC，BD交點(diǎn)，所以O(shè)P⊥平面ABCD．
因?yàn)锳B=2，所以O(shè)A=，
因?yàn)镻A=．
所以O(shè)P²=PA²-OA²=3-2=1，
所以O(shè)P=1．
如圖以O(shè)為原點(diǎn)，AC，BD所在直線分別為X軸，Y軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（，0，0），B（0，，0），C（-，0，0），D（0，-，0），P（0，0，1），
則=（-，0，-1），=（0，-2，0）．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185313925349464/SYS201310241853139253494024_DA/12.png">=0．
所以直線BD與直線PC所成的角：90°．
（2）由（1）得BD⊥PC，又BD⊥AC，PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC=C，
所以BD⊥平面PAC，取平面PAC的一個(gè)法向量為=（0，-2，0）．
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），=（-，-，0）．
由得，
不妨取=（1，-1，-），則cos，＞==，
可得向量與的夾角為60°．
所以平面PBC與平面PAC所成的角為60°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角．用空間向量求平面間的夾角的關(guān)鍵問(wèn)題在于兩個(gè)平面的法向量不能求錯(cuò)．