Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n（n≥2），試判斷T_n與2的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得，代入計(jì)算可求a₂，a₃，a₄的值，確定{}是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，可判斷T_n與2的大�。�
解答：解：（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得，
∵a₁=1，∴=，=，=．  …（3分）
又由得=+，即-=，
∴{}是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴=1+（n-1）=，∴．                                    …（7分）
（Ⅱ）T_n＜2． 證明如下：…（8分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1a_n=•=4（），…（10分）
∴T_n=4[（）+（）+…+（）]=4（）=2-＜2…（15分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，屬于中檔題．