【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣lnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x∈(0,1],|f(x)|≥1恒成立,求a的取值范圍;
(3)若a= ,證明:ex1f(x)≥x.

【答案】
(1)解:a=1時,函數(shù)f(x)=x2﹣lnx,

函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),

則由f'(x)>0得 ,由f'(x)<0得 ,

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,單調(diào)遞減區(qū)間為


(2)解:由已知得f′(x)=2ax﹣

若f′(x)≤0在(0,1]上恒成立,則2a≤ 恒成立,所以2a≤( min=1,即a≤

①a≤ 時,f(x)在(0,1]單調(diào)遞減,f(x)min=f(1)=a,與|f(x)|≥1恒成立矛盾.

②當(dāng)a> 時,令f′(x)=2ax﹣ =0,得x= ∈(0,1].

所以當(dāng)x∈(0, )時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈( ,1]時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以f(x)min=f( )=a( 2﹣ln = + ln2a.

由|f(x)|≥1得, + ln2a≥1,所以a≥

綜上,所求a的取值范圍是[ ,+∞)


(3)解:證明:a= 時,由(Ⅱ)得f(x)min= + ln2a=1.

令h(x)= ,則h′(x)=

所以當(dāng)0<x<1時,h′(x)>0,h(x)單增;當(dāng)x≥1時,h′(x)<0,h(x)單減.

所以h(x)≤h(1)=1.…(13分)

所以f(x)≥h(x),即ex1f(x)≥x


【解析】(1)求出導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)大于0,可得增區(qū)間;導(dǎo)數(shù)小于0,可得減區(qū)間;(2)求出導(dǎo)數(shù),對a討論,①a≤ 時,②當(dāng)a> 時,求出單調(diào)區(qū)間,可得最小值,由恒成立思想即可得到a的范圍;(3)a= 時,由(Ⅱ)得f(x)min= + ln2a=1,令h(x)= ,求出導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間,運用單調(diào)性即可得證.
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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性別

是否需要志愿者

需要

40

30

不需要

160

270

(1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿提供幫助的老年人的比例;

(2)能否有99℅的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?提供幫助的老年人的比例?說明理由.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

附:

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A.[1,+∞)
B.(﹣∞,1]
C.(﹣∞,2]
D.[2,+∞)

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