Question

4．已知cosx+cosy=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求sinx+siny的取值范圍．

Answer 1

分析 由同角三角函數(shù)關(guān)系式和余弦函數(shù)加法定理得（sinx+siny）²+（cosx+cosy）²=2+2cos（x-y），由此根據(jù)cosx+cosy=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到（sinx+siny）²=$\frac{3}{2}$+2cos（x-y）≤$\frac{7}{2}$．從而能求出sinx-siny的取值范圍．

解答 解：∵（sinx+siny）²+（cosx+cosy）²
=（sin²x+cos²x）+（sin²y+cos²y）+2（cosxcosy+sinxsiny）
=2+2cos（x-y），
又∵cosx+cosy=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴（sinx+siny）²=$\frac{3}{2}$+2cos（x-y）≤$\frac{7}{2}$．
∴-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤sinx+siny≤$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
即：sinx-siny的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，$\frac{\sqrt{14}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意同角三角函數(shù)關(guān)系式和余弦函數(shù)加法定理的合理運(yùn)用．