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【題目】設數列的前項和為，已知.

（1）令，求數列的通項公式；

（2）若數列滿足：.

①求數列的通項公式；

②是否存在正整數，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）①；②存在，

【解析】

（1）由題，得，即可得到本題答案；

（2）①由，得，所以，恒等變形得，，由此即可得到本題答案；

②由錯位相減求和公式，得的前n項和，然后通過求的解，即可得到本題答案.

（1）因為，所以，即，

又因為，所以，即，

所以數列是以2為公比和首項的等比數列，所以；

（2）①由（1）知，，當時，，

又因為也滿足上式，所以數列的通項公式為，

因為，所以，所以，

即，

因為，所以數列是以1為首項和公差的等差數列，所以，

故；

②設，則，

所以，

兩式相減得，

所以，

∵，∴，

即：，即.

令，則，即，

所以，數列單調遞減，

，因此，存在唯一正整數，使得成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知正方體，點， ， 分別是線段， 和上的動點，觀察直線與， 與．給出下列結論：

①對于任意給定的點，存在點，使得；

②對于任意給定的點，存在點，使得；

③對于任意給定的點，存在點，使得；

④對于任意給定的點，存在點，使得．

其中正確結論的個數是（ ）．

A. 個 B. 個 C. 個 D. 個

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一個口袋內有個不同的紅球，個不同的白球，

（1）從中任取個球，紅球的個數不比白球少的取法有多少種？

（2）若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，的面積為1，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點在橢圓上且位于第二象限，過點作直線，過點作直線，若直線的交點恰好也在橢圓上，求點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】臨近開學季，某大學城附近的一款“網紅”書包銷售火爆，其成本是每件15元．經多數商家銷售經驗，這款書包在未來1個月（按30天計算）的日銷售量（個）與時間（天）的關系如下表所示：

時間（/天）

1

4

7

11

28

…

日銷售量（/個）

196

184

172

156

88

…

未來1個月內，前15天每天的價格（元/個）與時間（天）的函數關系式為（且為整數），后15天每天的價格（元/個）與時間（天）的函數關系式為（且為整數）．

（1）認真分析表格中的數據，用所學過的一次函數、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據（個）與（天）的關系式；

（2）試預測未來1個月中哪一天的日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

（3）在實際銷售的第1周（7天），商家決定每銷售1件商品就捐贈元利潤給該城區(qū)養(yǎng)老院．商家通過銷售記錄發(fā)現，這周中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間（天）的增大而增大，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了調查某大學學生在周日上網的時間，隨機對名男生和名女生進行了不記名的問卷調查，得到了如下的統(tǒng)計結果：

表1：男生上網時間與頻數分布表：

上網時間（分鐘）

人數

5

25

30

25

15

表2：女生上網時間與頻數分布表：

上網時間（分鐘）

人數

10

20

40

20

10

（1）若該大學共有女生人，試估計其中上網時間不少于分鐘的人數；

（2）完成表3的列聯表，并回答能否有的把握認為“學生周日上網時間與性別有關”？

（3）從表3的男生中“上網時間少于分鐘”和“上網時間不少于分鐘”的人數中用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，再從中任取兩人，求至少有一人上網時間超過分鐘的概率.表3：

上網時間少于60分鐘

上網時間不少于60分鐘

合計

男生

女生

合計

附：，其中，

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.

求證：（1）直線平面EFG；

（2）直線平面SDB.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.

(1)求證：平面AEC⊥平面ABE；

(2)點F在BE上．若DE∥平面ACF，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了解某中學學生對《中華人民共和國交通安全法》的了解情況，調查部門在該校進行了一次問卷調查（共12道題），從該校學生中隨機抽取40人，統(tǒng)計了每人答對的題數，將統(tǒng)計結果分成，，，，，六組，得到如下頻率分布直方圖.

（1）若答對一題得10分，未答對不得分，估計這40人的成績的平均分（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）若從答對題數在內的學生中隨機抽取2人，求恰有1人答對題數在內的概率.

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