Question

四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．E為BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線NE與AM所成角的余弦值；
（2）在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN？
（3）若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，建立空間坐標(biāo)系，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線NE與AM的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．；
（2）連接PB，交AN與S，連接SE，則易得S為PB的中點(diǎn)，又由E為BC的中點(diǎn)，由三角形中位線的性質(zhì)，結(jié)合ES⊥平面AMN，易得線段AN上存在一點(diǎn)S為AN的中點(diǎn)，滿足ES⊥平面AMN
（3）由（2）的結(jié)論，我們易求出S點(diǎn)的坐標(biāo)，代入空間中兩點(diǎn)之間距離公式，即可得到答案．本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，
解答：解：∵M(jìn)D⊥平面ABCD，則MD⊥DA，MD⊥DC，
又∵底面ABCD為正方形，∴DA⊥DC，
故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
則各點(diǎn)的坐標(biāo)D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E，（，1，0），M（0，0，1），N（1，1，1），

（1）∴=（-，0，-1），=（-1，0，1）
設(shè)異面直線NE與AM所成角為θ
則cosθ===
故異面直線NE與AM所成角的余弦值為
（2）由正方體的幾何特征，我們易得PC⊥平面AMN
連接PB，交AN與S，連接SE，則易得S為PB的中點(diǎn)，又由E為BC的中點(diǎn)
則SE∥PC
∴ES⊥平面AMN
即線段AN上存在一點(diǎn)S為AN的中點(diǎn)，滿足ES⊥平面AMN
（3）由（2）得，S的坐標(biāo)為（1，，）
則線段AS的長d==
點(diǎn)評：在判斷空間線面的關(guān)系，常常把他們放在空間幾何體中來直觀的分析，在判斷線與面的平行與垂直關(guān)系時(shí)，正方體是最常用的空間模型，大家一定要熟練掌握這種方法．另外熟練掌握線線、線面、面面平行（或垂直）的判定及性質(zhì)定理是解決此類問題的基礎(chǔ)．