Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x，0＜x＜1\\ \frac{1}{x}，x≥1\end{array}$，g（x）=af（x）-|x-1|．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，若g（x）≤|x-2|+b對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，若g（x）≤|x-2|+b對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，-b≤|x-1|+|x-2|，求出右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，即可求g（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-|x-1|，∴-|x-1|≤|x-2|+b，
∴-b≤|x-1|+|x-2|，
∵|x-1|+|x-2|≥|x-1+2-x|=1，∴-b≤1，∴b≥-1…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，$g（x）=\left\{\begin{array}{l}2x-1，0＜x＜1\\ \frac{1}{x}-x+1，x≥1\end{array}\right.$…（6分）
可知g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減 …（8分）
∴g（x）_max=g（1）=1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．