Question

9．設(shè)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{e^{x-1}}，x＜2\\{log_3}（{x^2}-1），x≥2\end{array}\right.$則f（f（1））=1，不等式f（x）＞2的解集為$（1，2）∪（\sqrt{10}，+∞）$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的解析式求出f（1）的值是2，從而求出f（2）的值即可；不等式f（x）＞2即2e^x-1＞2或log₃（x²-1）＞2，即e^x-1＞1=e⁰，或x²-1＞9，解出即可．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{e^{x-1}}，x＜2\\{log_3}（{x^2}-1），x≥2\end{array}\right.$，
f（1）=2•e^1-1=2，
故f（f（1））=f（2）=log₃（4-1）=1，
若f（x）＞2，
則2e^x-1＞2（x＜2）或log₃（x²-1）＞2（x≥2），
即e^x-1＞1=e⁰，或x²-1＞9，
解得：1＜x＜2或x＞$\sqrt{10}$，
故答案為：1，$（1，2）∪（\sqrt{10}，+∞）$

點評 本題考查了解指數(shù)、對數(shù)不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．