Question

如圖已知△OPQ的面積為S，且

OP

•

PQ

=1．
（1）若S∈（

1

2

，

3

2

），求向量OP與PQ的夾角θ的取值范圍；
（2）設(shè)|

OP

|=m，S=

3

4

m，以O(shè)為中心，P為焦點的橢圓經(jīng)過點Q，當(dāng)m≥2時，求|

OQ

|的最小值，并求出此時的橢圓方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)

OP

與

PQ

的夾角為θ，則

PO

與

PQ

的夾角為π-θ，根據(jù)S=

1

2

OP

•

PQ

tanθ，以及

OP

•

PQ

=1，S∈（

1

2

，

3

2

）求得tanθ的范圍，可得θ的范圍．
（II）設(shè)Q（x₀，y₀），根據(jù)條件求得y₀和x₀的值，可得|

OQ

|的解析式．令f（x）=x+

1

x

，根據(jù)它的單調(diào)性可得|

OQ

|的最小值為

34

2

，可得焦點坐標，再利用橢圓的定義求得a，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得b，從而求得橢圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)

OP

與

PQ

的夾角為θ，則

PO

與 

PQ

的夾角為π-θ，
∵S=

1

2

|

PO

||

PQ

|sin（π-θ）=

1

2

|

PO

||

PQ

|sinθ=

1

2

|

PO

||

PQ

|cosθtanθ=

1

2

OP

•

PQ

tanθ．
又

OP

•

PQ

=1，S∈（

1

2

，

3

2

），∴

1

2

OP

•

PQ

tanθ∈（

1

2

，

3

2

），
∴tanθ∈（1，

3

），θ∈（

π

4

，

π

3

）．
（II）設(shè)Q（x₀，y₀），則S=

1

2

m|y₀|=

3m

4

，∴y₀=±

3

2

．
∴

OP

=（m，0），

PQ

=（X₀-m，±

3

2

）．
由

OP

•

PQ

=m（x₀-m）=1，∴x₀=m+

1

m

．
∴Q（m+

1

m

，±

3

2

），|

OQ

|=

(m+ 1 m )2+ 9 4

．
令f（x）=x+

1

x

，則f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，故f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)m=2時，|

OQ

|的最小值為

(2+ 1 2 )2+ 9 4

=

34

2

．
此時P（2，0），橢圓的另一焦點為P′（-2，0），
則橢圓長軸長2a=|

QP

|+|

QP′

|=

( 5 2 -2)2+ 9 4

+

( 5 2 +2)2+ 9 4

=2

10

，
∴a=

10

，b=

10-4

=

6

，
故橢圓的方程為 

x2

10

+

y2

6

=1．

點評：本題主要考查橢圓的定義、性質(zhì)、以及標準方程的應(yīng)用，兩個向量坐標形式的運算，屬于中檔題．