Question

1．已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₃a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求{a_n}的通項公式．
（2）等差數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$，求非零常數(shù)c的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)，聯(lián)立方程可得a₃，a₄，代入等差數(shù)列的通項公式可求a_n；
（2）代入等差數(shù)列的前n和公式可求S_n，進一步可得b_n，然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b₂=b₁+b₃，從而可求c．

解答 解：（1）設(shè)公差為d（d＞0），由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
a₂+a₅=a₃+a₄=22，
又a₃a₄=117，
解得a₃=9，a₄=13，
即有d=a₄-a₃=4，a₁=9-2×4=1，
則a_n=1+（n-1）×4=4n-3；
（2）由（1）知，S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×4=2n²-n，
由b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$=$\frac{2{n}^{2}-n}{n+c}$，
可得b₁=$\frac{1}{1+c}$，b₂=$\frac{6}{2+c}$，b₃=$\frac{15}{3+c}$，
由b_n是等差數(shù)列，可得2b₂=b₁+b₃，即2c²+c=0，
解得c=-$\frac{1}{2}$（c=0舍去），
當c=-$\frac{1}{2}$時，b_n=2n為等差數(shù)列，滿足要求．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的綜合運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．