【題目】設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn+an=2. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足b1=a1 , bn= ,n≥2 求證{ }為等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)cn= ,求數(shù)列{cn}的前n和Tn

【答案】解:(Ⅰ)由Sn+an=2,得Sn+1+an+1=2,兩式相減,得2an+1=an , ∴ (常數(shù)), ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,
又n=1時(shí),S1+a1=2,∴
(Ⅱ)證明:由b1=a1=1,且n≥2時(shí),bn= ,得bnbn1+3bn=3bn1 ,

∴{ }是以1為首項(xiàng), 為公差的等差數(shù)列,
,故 ;
(Ⅲ)解:cn= = ,
,
,
以上兩式相減得,

=
=

【解析】(Ⅰ)由數(shù)列遞推式可得Sn+1+an+1=2,與原數(shù)列遞推式作差可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求;(Ⅱ)由b1=a1求得b1 , 把bn= 變形可得{ }為等比數(shù)列,求其通項(xiàng)公式后可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(Ⅲ)把{an},{bn}的通項(xiàng)公式代入cn= ,利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{cn}的前n和Tn
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí),掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系,以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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