【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么實數(shù)時，直線l與圓恒交于兩點；
（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時直線l的方程．

【答案】
（1）解：由m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0知直線l恒過定點，

又 ，

∴直線l恒過定點A（3，1），

且（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＜25A（3，1）必在圓內(nèi)，

故直線l與圓恒有兩交點


（2）解：∵圓心為C（1，2），定點為A（3，1）

∴

由平面幾何知識知，當直線l與AC垂直時所截線段最短，此時kl=2

∴l(xiāng)方程為：y﹣1=2（x﹣3）2x﹣y﹣5=0，此時

∴最短弦長=


【解析】（1）把直線l的方程變形后，根據(jù)直線l恒過定點，得到關于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線l恒過的定點坐標，然后利用兩點間的距離公式求出此點到圓心的距離d，發(fā)現(xiàn)d小于圓的半徑，得到此點在圓內(nèi)，故直線l與圓恒交于兩點；（2）由平面幾何知識可知，當直線l與AC垂直時，所截取的線段最短，由圓心C和定點A的坐標求出直線AC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1，求出直線l的斜率，由A的坐標和求出的斜率寫出直線l的方程，再由A與C的坐標，利用兩點間的距離公式求出|AC|即為弦心距，根據(jù)圓的半徑，弦心距及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理即可求出此時的弦長．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC， ，

E，F分別是A1C1，BC的中點．

(Ⅰ)求證：C1F∥平面ABE；

(Ⅱ)求三棱錐E-ABC的體積．

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【題目】已知關于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，求不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=cos2x﹣sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求f（x）在區(qū)間 上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若對任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），則a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.[3，+∞）
D.（0，3]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中，正確命題的個數(shù)是（ ）
①若2b=a+c，則a，b，c成等差數(shù)列；
②“a，b，c成等比數(shù)列”的充要條件是“b2=ac”；
③若數(shù)列{an2}是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}也是等比數(shù)列；
④若| |=| |，則 = ．
A.3
B.2
C.1
D.0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】己知函數(shù)f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是關于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一個解，求t的值；
（2）當0＜a＜1且t=﹣1時，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函數(shù)F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在區(qū)間（﹣1，2]上有零點，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，△是等邊三角形，△是等腰直角三角形， ，平面 平面， 平面，點為的中點，連接.

(1) 求證： ∥平面；

(2)若，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列{an}前n項和為Sn ， 且Sn+an=2． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足b1=a1 ， bn= ，n≥2 求證{ }為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅲ）設cn= ，求數(shù)列{cn}的前n和Tn ．

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