已知圓C:(x-1)2+(y-3)2=16,直線l:(2m+3)x+(m+4)y+2m-2=0.
(1)無論m取任何實數(shù),直線l必經(jīng)過一個定點,求出這個定點的坐標;
(2)當m取任意實數(shù)時,直線l和圓的位置關系有無不變性,試說明理由;
(3)請判斷直線l被圓C截得的弦何時最短,并求截得的弦最短時m的值以及弦的長度a.
分析:(1)展開后把含有m的合并在一起,提取m后聯(lián)立兩直線組成的方程組求解定點的坐標;
(2)根據(jù)直線過的定點在圓的內(nèi)部,說明直線和圓的位置關系不變,一定相交;
(3)根據(jù)當圓心C和P點的連線垂直于直線l時直線l被圓C截得的弦何時最短求解m的值和弦的長度a.
解答:解(1)直線:l:(2m+3)x+(m+4)y+2m-2=0可變形m(2x+y+2)+(3x+4y-2)=0
2x+y+2=0
3x+4y-2=0
,解得
x=-2
y=2
.因此直線l恒過定點P(-2,2);
(2)因為已知圓的圓心C(1,3),半徑r=4,而(-2-1)2+(2-3)2=10<16,
所以直線l過圓C:(x-1)2+(y-3)2=16內(nèi)一定點P(-2,2),故不論m取何值,直線l和圓總相交;
(3)當直線l垂直于CP時,截得的弦最短,此時,kl•kCP=-1
kCP=
3-2
1+2
=
1
3
kl=-
2m+3
m+4
=-3
,得m=-9.
∴最短弦長為a=2
r2-|CP|2
=2
16-10
=2
6
,所以m=-9,a=2
6
點評:本題考查了直線系方程,考查了直線和圓的位置關系,關鍵是明確直線l被圓C截得的弦何時最短,是中檔題.
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