Question

高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ�，前面擋有一塊玻璃．讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過(guò)程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi)．如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以

1

2

的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過(guò)6次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2，…，7的球槽內(nèi)．例如小球要掉入3號(hào)球槽，則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下．
（1）若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，這個(gè)小球掉入2號(hào)球槽的概率；
（2）某高三同學(xué)在研究了高爾頓板后，制作了一個(gè)如圖所示的高爾頓板來(lái)到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng).10元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入m號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為ξ元，其中ξ=|20-5m|．高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲．試求ξ的分布列，如果你在活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)，你通過(guò)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算后，你覺(jué)得這位高三同學(xué)能盈利嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)這個(gè)小球掉入2號(hào)球槽為事件A．掉入2號(hào)球槽，需要向右1次向左5次，由此能求出這個(gè)小球掉入2號(hào)球槽的概率．
（2）ξ的可能取值為0，5，10，15．由此能求出ξ的分布列和Eξ，從而能求出這位高三同學(xué)能盈利．

解答： 解：（1）設(shè)這個(gè)小球掉入2號(hào)球槽為事件A．
掉入2號(hào)球槽，需要向右1次向左5次，
所以P（A）=

C

1 6

(

1

2

)(

1

2

)5=

3

32

．
所以這個(gè)小球掉入2號(hào)球槽的概率為

3

32

．…（5分）
（2）ξ的可能取值為0，5，10，15．
P（ξ=0）=P（m=4）=

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)3=

5

16

，
P（ξ=5）=P（m=3）+P（m=5）

C

2 6

(

1

2

)2(

1

2

)4+

C

4 6

(

1

2

)4(

1

2

)2=

15

32

，
P（ξ=10）=P（m=2）+P（m=6）=

C

1 6

(

1

2

)(

1

2

)5+

C

5 6

(

1

2

)5(

1

2

)=

3

16

，
P（ξ=15）=P（m=1）+P（m=7）=

C

0 6

(

1

2

)6+

C

6 6

(

1

2

)6=

1

32

．

ξ	0	5	10	15
P	5 16	15 32	3 16	1 32

Eξ=0×

5

16

+5×

15

32

+10×

3

16

+15×

1

32

=

75

16

＜10．
∴這位高三同學(xué)能盈利．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．