Question

已知x∈（0，a]，求函數(shù)f（x）=x²+

1

x2

+x+

1

x

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題可以通過換元法，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利用分類討論，對新變量進(jìn)行研究，從而得到新函數(shù)的定義域，得到本題的最小值．

解答： 解：設(shè)t=x+

1

x

，則t2=x2+

1

x2

+2，x²+

1

x2

=t²-2．
原函數(shù)轉(zhuǎn)化為g（t）=t²+t-2=(t+

1

2

)2-

9

4

．
∵x∈（0，a]，
∴（1）當(dāng)a≥1時，
t=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號．
g(t)≥(2+

1

2

)2-

9

4

=4．
（2）當(dāng)0＜a＜1時，
t=x+

1

x

在（0，a]單調(diào)遞減，t≥a+

1

a

＞2，
g（t）=t²+t-2在[a+

1

a

，+∞)單調(diào)遞增，
g(t)≥a2+

1

a2

+a+

1

a

．
綜上所述，當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）=x²+

1

x2

+x+

1

x

的最小值為4；
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=x²+

1

x2

+x+

1

x

的最小值為a2+

1

a2

+a+

1

a

．

點評：本題考查的是基本不等式和二次函數(shù)的最值，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點在于換元法．本題有一定難度，屬于中檔題．