Question

14．已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）正確求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，再求得導(dǎo)函數(shù)后，利用f'（x）＞0，解自變量的取值范圍時(shí)要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0來討論得解．
（2）由f（x）≥0對(duì)x∈[2，+∞）上恒成立可分a≤2和a＞2來討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值大于等于0的問題來求解．

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=$\frac{x-a}{x}$=0，解得：x=a，
f（x）在（0，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù)；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
當(dāng)a≤2時(shí)，f'（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
則f（x）是單調(diào)遞增的，
則f（x）＞f（2）＞f（1）=0恒成立，則a≤2，
當(dāng)a＞2時(shí)，在（2，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x∈（2，a）時(shí)，f（x）＜f（2）＜f（1）=0這與f（x）≥0恒成立矛盾，
故不成立
綜上：a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用到輸球函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問題；考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)不等式的恒成立問題，求參數(shù)的取值范圍，主要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題利用導(dǎo)數(shù)這一工具來求解．