Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）如果函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-

1

3

，1），求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）如果函數(shù)g（x）在區(qū)間(-

1

3

，

1

2

)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到不等式的解集，得到相應(yīng)方程的兩個(gè)根，將根代入，求出a的值．
（2）若函數(shù)g（x）在區(qū)間(-

1

3

，

1

2

)上是減函數(shù)，則g′（x）＜0在區(qū)間(-

1

3

，

1

2

)上恒成立，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）已知條件可以轉(zhuǎn)化為a≥lnx-

3

2

x-

1

2X

恒成立，對不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-

1

3

，1），
∴g′（x）=3x²+2ax-1由題意3x²+2ax-1＜0的解集是（-

1

3

，1）
即3x²+2ax-1=0的兩根分別是-

1

3

，1．
將x=1或-

1

3

代入方程3x²+2ax-1=0得a=-1．
∴g（x）=x³-x²-x+2．（4分）
（2）∵函數(shù)g（x）在區(qū)間(-

1

3

，

1

2

)上是減函數(shù)，
∴g′（x）=3x²+2ax-1＜0在區(qū)間(-

1

3

，

1

2

)上恒成立
即g′（-

1

3

）=3（-

1

3

）²+2a（-

1

3

）-1≤0，且g′（

1

2

）=3（

1

2

）²+2a（

1

2

）-1≤0，
解得-1≤a≤

1

4

（3）g′（x）=3x²+2ax-1，由題意2xlnx≤3x²+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx-

3

2

x-

1

2X

恒成立�、伲�9分）
設(shè)h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2X

，則h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0得：x=1，x=-

1

3

（舍去）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＜0
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）有最大值-2（12分）
若①恒成立，則a≥-2，
即a的取值范圍是[-2，+∞）．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．這類題目是高考的常考題．