Question

下列函數(shù)中既是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，

π

2

）上單調(diào)遞減的函數(shù)是（　　）

Answer 1

分析：由函數(shù)奇偶性的定義排除選項(xiàng)A、B、D，最后判斷函數(shù)y=cosx的奇偶性，再利用定義證明其在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減．

解答：解：∵sin（-x）=-sinx，∴函數(shù)y=sinx為奇函數(shù)，故A不正確；
∵tan（-x）=-tanx，∴函數(shù)y=tanx為奇函數(shù)，故B不正確；
∵cos（-x）=cosx，∴函數(shù)y=cosx為偶函數(shù)，
又若0＜x1＜x2＜

π

2

，則cosx1-cosx2=-2sin

x1+x2

2

sin

x1-x2

2

，
∵0＜x1＜x2＜

π

2

，則0＜

x1+x2

2

＜

π

2

，-

π

4

＜

x1-x2

2

＜0，
∴cosx1-cosx2=-2sin

x1+x2

2

sin

x1-x2

2

＞0．
∴cosx₁＞cosx₂．
∴函數(shù)y=cosx在區(qū)間（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，故C正確；
函數(shù)y=lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，函數(shù)y=lnx是非奇非偶函數(shù)，故D不正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合題，單純的從解決問(wèn)題而言，此題可以直接利用函數(shù)不是偶函數(shù)排除A、B、D．對(duì)于選項(xiàng)C，可以借助于其圖象分析單調(diào)性，也可利用定義證明，此題是基礎(chǔ)題型．