【題目】如圖,已知圓:,點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在兩點(diǎn)之間).是否存在直線使得?若存在,求直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)(2)存在,或.
【解析】
(1)結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義,求出橢圓的方程.
(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫(xiě)出韋達(dá)定理,利用,結(jié)合向量相等的坐標(biāo)表示,求得直線的斜率,進(jìn)而求得直線的方程.方法一和方法二的主要曲邊是直線的方程的設(shè)法的不同.
(1)因?yàn)閳A的方程為,
所以,半徑.
因?yàn)?/span>是線段的垂直平分線,所以.
所以.
因?yàn)?/span>,
所以點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.
因?yàn)?/span>,,,
所以曲線的方程為.
(2)存在直線使得.
方法一:因?yàn)辄c(diǎn)在曲線外,直線與曲線相交,
所以直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為.
設(shè),
由 得.
則, ①
, ②
由題意知,解得.
因?yàn)?/span>,
所以,即. ③
把③代入①得, ④
把④代入②得,得,滿足.
所以直線的方程為:或.
方法二:因?yàn)楫?dāng)直線的斜率為0時(shí),,,,
此時(shí).
因此設(shè)直線的方程為:.
設(shè),
由 得.
由題意知,解得或,
則, ①
, ②
因?yàn)?/span>,所以. ③
把③代入①得, ④
把④代入②得,,滿足或.
所以直線的方程為或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形,,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),現(xiàn)沿將平面折起,設(shè).
(1)當(dāng)為直角時(shí),求直線與平面所成角的大小;
(2)當(dāng)為多少時(shí),三棱錐的體積為;
(3)在(2)的條件下,求此時(shí)二面角的大小.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與軸的非負(fù)半軸重合,若曲線的極坐標(biāo)系方程為
,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程;
(2)設(shè)點(diǎn)直線與曲線交于兩點(diǎn), 求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為.
(1)求的方程;
(2)過(guò)的左焦點(diǎn)作直線與交于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,直線(為坐標(biāo)原點(diǎn))與直線相交于點(diǎn),是否存在直線使得為等腰直角三角形,若存在,求出的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(ax2-2x)ex,其中a≥0.
(1)當(dāng)a=時(shí),求f(x)的極值點(diǎn);
(2)若f(x)在[-1,1]上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是平行四邊形,在平面上的射影為,且在上,且, ,是的中點(diǎn),四面體的體積為.
(Ⅰ)求異面直線與所成的角余弦值;
(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離;
(Ⅲ)若點(diǎn)是棱上一點(diǎn),且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系平面上的一列點(diǎn),,…,,記為,若由構(gòu)成的數(shù)列滿足,,其中為與軸正方向相同的單位向量,則稱為點(diǎn)列.
(1)判斷,,,…,,是否為點(diǎn)列,并說(shuō)明理由;
(2)若為點(diǎn)列.且點(diǎn)在點(diǎn)的右上方,(即)任取其中連續(xù)三點(diǎn),,判斷的形狀(銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形),并給予證明;
(3)若為點(diǎn)列,正整數(shù),滿足.求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從甲、乙兩種樹(shù)苗中各抽測(cè)了10株樹(shù)苗的高度,其莖葉圖如圖.根據(jù)莖葉圖,下列描述正確的是( )
A.甲種樹(shù)苗的平均高度大于乙種樹(shù)苗的平均高度,且甲種樹(shù)苗比乙種樹(shù)苗長(zhǎng)得整齊
B.甲種樹(shù)苗的平均高度大于乙種樹(shù)苗的平均高度,但乙種樹(shù)苗比甲種樹(shù)苗長(zhǎng)得整齊
C.乙種樹(shù)苗的平均高度大于甲種樹(shù)苗的平均高度,且乙種樹(shù)苗比甲種樹(shù)苗長(zhǎng)得整齊
D.乙種樹(shù)苗的平均高度大于甲種樹(shù)苗的平均高度,但甲種樹(shù)苗比乙種樹(shù)苗長(zhǎng)得整齊
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的短軸端點(diǎn)為,,點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),且不與,重合,點(diǎn)滿足,.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)求四邊形面積的最大值.
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