Question

【題目】如圖，已知圓：，點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在兩點(diǎn)之間）.是否存在直線使得？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，或．

【解析】

（1）結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義，求出橢圓的方程.

（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用，結(jié)合向量相等的坐標(biāo)表示，求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.方法一和方法二的主要曲邊是直線的方程的設(shè)法的不同.

（1）因?yàn)閳A的方程為，

所以，半徑．

因?yàn)?/span>是線段的垂直平分線，所以．

所以．

因?yàn)?/span>，

所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．

因?yàn)?/span>，，，

所以曲線的方程為．

（2）存在直線使得．

方法一：因?yàn)辄c(diǎn)在曲線外，直線與曲線相交，

所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．

設(shè)，

由 得．

則， ①

， ②

由題意知，解得．

因?yàn)?/span>，

所以，即． ③

把③代入①得， ④

把④代入②得，得，滿足．

所以直線的方程為：或．

方法二：因?yàn)楫?dāng)直線的斜率為0時(shí)，，，，

此時(shí)．

因此設(shè)直線的方程為：．

設(shè)，

由 得．

由題意知，解得或，

則， ①

， ②

因?yàn)?/span>，所以． ③

把③代入①得， ④

把④代入②得，，滿足或．

所以直線的方程為或．