【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(ax2-2x)ex,其中a≥0.
(1)當(dāng)a=時,求f(x)的極值點;
(2)若f(x)在[-1,1]上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)0≤a≤
【解析】
試題求出導(dǎo)數(shù),得到單調(diào)性求出極值,在[-1,1]上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是,即,所以0<a≤。
試題解析:對f(x)求導(dǎo)得f'(x)=[ax2+2(a-1)x-2]ex①
(Ⅰ)若a=時,由f′(x)=0,得2x2+x-3=0,解得x1=-,x2=1,綜合①,可知
x | (-∞,-) | - | (-,1) | 1 | (1,+∞) |
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
所以,x1=-是極大值點,x2=1是極小值點.(注:未注明極大、極小值扣1分)
(Ⅱ)若f(x)為[-1,1]上的單調(diào)函數(shù),又f'(0)=-2<0,
所以當(dāng)x∈[-1,1]時f'(x)≤0,即g(x)=ax2+2(a-1)x-2≤0在[-1,1]上恒成立.
(1)當(dāng)a=0時,g(x)=-2x-2≤0在[-1,1]上恒成立;
(2)當(dāng)a>0時,拋物線g(x)=ax2+2(a-1)x-2開口向上,
則f(x)在[-1,1]上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是,即,所以0<a≤.
綜合(1)(2)知a的取值范圍是0≤a≤.
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【題目】如圖(一),在直角梯形ABCP中,CP∥AB,CP⊥BC,AB=BC=CP,D是CP的中點,將△PAD沿AD折起,使點P到達(dá)點P′的位置得到圖(二),點M為棱P′C上的動點.
(1)當(dāng)M在何處時,平面ADM⊥平面P′BC,并證明;
(2)若AB=2,∠P′DC=135°,證明:點C到平面P′AD的距離等于點P′到平面ABCD的距離,并求出該距離.
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【題目】已知y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( )
A.f(x)在(-3,-1)上先增后減B.x=-2是f(x)極小值點
C.f(x)在(-1,1)上是增函數(shù)D.x=1是函數(shù)f(x)的極大值點
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【題目】在古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”,由四個全等的直角三角形圍成一個大正方形,中間空出一個小正方形(如圖陰影部分)。若直角三角形中較小的銳角為a,F(xiàn)向大正方形區(qū)城內(nèi)隨機(jī)投擲一枚飛鏢,要使飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為,則_____________。
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【題目】如圖,已知圓:,點是圓內(nèi)一個定點,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線和半徑相交于點.當(dāng)點在圓上運動時,點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)過點的直線與曲線相交于兩點(點在兩點之間).是否存在直線使得?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為,求實數(shù)的值;
(2)設(shè),若不等式對都成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若且時,求函數(shù)的零點.
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【題目】如圖,在三棱錐中,已知,,平面平面,點分別是的中點,,連接.
(1)若,并異面直線與所成角的余弦值的大;
(2)若二面角的余弦值的大小為,求的長.
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【題目】已知點P(2,2),圓,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標(biāo)原點.
(1)求點M的軌跡方程;
(2)當(dāng)|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.
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