Question

已知f（x）=2ax-+lnx在x=-1，x=處取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）若對x∈[，4]時，f（x）＞c恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)f'（-1）=0，f'（）=0求出a，b的值．
（2）先將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[，4]最小值的問題，只要c小于f（x）在[，4]最小值即可滿足條件．
將a，b的值代入f'（x），然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求最小值．
解答：解：（1）∵f（x）=2ax-+lnx，
∴f′（x）=2a++．
∵f（x）在x=-1與x=處取得極值，
∴f′（-1）=0，f′（）=0，
即解得
∴所求a、b的值分別為1、-1．
（2）由（1）得f′（x）=2-+=（2x²+x-1）=（2x-1）（x+1）．
∴當x∈[，]時，f′（x）＜0；
當x∈[，4]時，f′（x）＞0．
∴f（）是f（x）在[，4]上的極小值．又∵只有一個極小值，
∴f（x）_min=f（）=3-ln2．
∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）_min=3-ln2．
∴c的取值范圍為c＜3-ln2．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點與其導函數(shù)的關系．導數(shù)是高考的熱點問題，每年必考，要重視．