Question

【題目】函數(shù)，.

（Ⅰ）若，設(shè)，試證明存在唯一零點，并求的最大值；

（Ⅱ）若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，求得，令，，進(jìn)而判定出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值.

（Ⅱ）由題意等價于，令，求得，

令，則，即在上單調(diào)遞增，求得，，的值，進(jìn)而得到實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）證明：由題意知，

于是

令，，

∴在上單調(diào)遞減.

又，，

所以存在，使得，

綜上存在唯一零點.

解：當(dāng)，，于是，在單調(diào)遞增；

當(dāng)，，于是，在單調(diào)遞減；

故，

又，，，

故.

（Ⅱ）解：等價于.

，

令，則，

令，則，即在上單調(diào)遞增.

又，，

∴存在，使得.

∴當(dāng)，在單調(diào)遞增；

當(dāng)，在單調(diào)遞減.

∵，，，

且當(dāng)時，，

又，，，

故要使不等式解集中有且只有兩個整數(shù)，的取值范圍應(yīng)為.