已知函數(shù)f(x)=x+ln(1-x),e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若x<1時,恒有f(x)+m≤0成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若n≥2,n∈N*,證明數(shù)學公式

(1)解:函數(shù)的定義域為(-∞,1),求導函數(shù)可得:
令f′(x)>0,可得x<0或x>1,∵x<1,∴x<0;
令f′(x)<0,可得0<x<1,∵x<1,∴0<x<1
∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減
∴f(x)max=f(0)=0
∵x<1時,恒有f(x)+m≤0成立,
∴x<1時,恒有m≤-f(x)成立,
∴m≤0
∴實數(shù)m的取值范圍是(-∞,0];
(2)證明:由(1)得,當x≤0時,恒有f(x)≤0,即ln(1-x)≤-x
∴l(xiāng)n[]=
==1-<1

分析:(1)確定函數(shù)的定義域,求導函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可得函數(shù)的最大值,x<1時,恒有f(x)+m≤0成立,等價于x<1時,恒有m≤-f(x)成立,由此可求實數(shù)m的取值范圍;
(2)由(1)得,當x≤0時,恒有f(x)≤0,即ln(1-x)≤-x,由此進行放縮,裂項,即可證得結論.
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查不等式的證明,考查放縮法的運用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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