Question

14．已知雙曲線C與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{27}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1有相同的漸近線，且與橢圓$\frac{{x}^{2}}{144}$+$\frac{{y}^{2}}{169}$=1有相同的焦點，則雙曲線C的方程為（　�。�

• A． $\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點坐標；判斷雙曲線標準方程；利用雙曲線的漸近線的方程設出所求方程，通過焦點坐標；求出雙曲線方程．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{144}$+$\frac{{y}^{2}}{169}$=1，其焦點坐標為（0，±5），
∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{27}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1的漸近線是y=±$\frac{4}{3}$x
設所求雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=m，∴16m+9m=5，∴m=1．
所以雙曲線方程為 $\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1．
故選A．

點評 本題考查利用待定系數法求圓錐曲線的方程，其中橢圓中三系數的關系是：a²=b²+c²；雙曲線中系數的關系是：c²=a²+b²．