Question

試構(gòu)造函數(shù)f（x）使得：
（1）f（x）定義域?yàn)椋?，1），值域?yàn)閇0，1]；
（2）f（x）定義域?yàn)椋?，1），值域?yàn)閇0，1]且f（x）值域上每一點(diǎn)有且只有一個(gè)原象與之對應(yīng)；
（3）f（x）定義域?yàn)椋?，1），值域?yàn)閇0，1]且f（x）值域上每一點(diǎn)都有無數(shù)個(gè)原象與之對應(yīng)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：綜合題,壓軸題,函數(shù)思想

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)f（x）是從（0，1）到[0，1]的一個(gè)映射，滿足定義域是（0，1），值域是[0，1]；
（2）構(gòu)造分段函數(shù)f（x）滿足定義域?yàn)椋?，1），值域?yàn)閇0，1]且是一一對應(yīng)的；
（3）構(gòu)造函數(shù)f（x）滿足定義域是（0，1），值域是[0，1]，且滿足多對一的特征，即f﹙x﹚=a有無窮多個(gè)解．

解答： 解：（1）f（x）是從（0，1）到[0，1]的一個(gè)映射，（跟證明（0，1）與[0，1]中的點(diǎn)一樣多等價(jià)）
取子序列

1

2

，

1

4

，

1

8

，…，

1

2n

，…n∈N^*；
與0，1，

1

2

，

1

4

，…，進(jìn)行對應(yīng)，而其他的點(diǎn)不變，就構(gòu)成從（0，1）到[0，1]的一個(gè)映射f，即函數(shù)f（x）滿足條件；
（2）f（x）=

2x，x= 1 2n 3x，x= 1 3n 0，x= 1 3 x，x∈(0，1)，x≠ 1 2n ，x≠ 1 3n ，n∈N*

①f（x）=x，x∈﹙0，1﹚，且x≠

1

2n

，x≠

1

3n

時(shí)，
f（x）的圖象是f（x）=x挖去x=0，x=1，x=

1

2n

和x=

1

3n

點(diǎn)，除去這些點(diǎn)外時(shí)取x=a，
∴f（x）=a只有一解，此時(shí)f（x）值域不能取到0，1，

1

2n

，

1

3n

這些值；
②x=

1

3

時(shí)f（x）=0，即只能在x=

1

3

處取得；
③f（

1

2

）=1，f（

1

4

）=

1

2

，f（

1

8

）=

1

4

，…，∴f（x）的值域能取到1，

1

2

，…，

1

2n

，且滿足唯一性；
④f（

1

3

）=0，f（

1

9

）=

1

3

，f（

1

27

）=

1

9

，…，∴f（x）值域能取到0，

1

3

，…，

1

3n

，且滿足唯一性；
（3）f（x）=sin

1

x

，x∈（0，1）；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，

1

x

∈（1，+∞），∴sin

1

x

∈[0，1]；
∴f（x）的值域是[0，1]，且對于任意a∈[0，1]，f﹙x﹚=a有無窮多個(gè)解．

點(diǎn)評：本題考查了構(gòu)造函數(shù)的問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合函數(shù)與映射的關(guān)系進(jìn)行解答，是競賽或壓軸題題目．