Question

已知銳角△ABC，函數(shù)f（x）=（sinA-cosB）x²-（sinB-cosA）x+sinC，x∈R，如果對于任意的實(shí)數(shù)x都有f（1-x）=f（x）．有下列結(jié)論：①f（0）＞f（

1

2

）；②△ABC為等邊三角形；③f（x）有最大值；④f（x）的最小值的取值范圍是（-

1

4

，1）．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號為（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意得二次函數(shù)的對稱軸為x=

1

2

，又△ABC為銳角三角形，并且A+B＞

π

2

，有sinA-cosB＞0，得對稱軸為：x=0.5，可得①正確，③錯誤；排除A，C選項(xiàng)．由二次函數(shù)對稱軸x=

1

2

=

sinB-cosA

2(sinA-cosB)

，整理得A=B或A+B=

π

2

；故②錯誤；排除D選項(xiàng)即可得解．

解答： 解：由題意對于任意的實(shí)數(shù)x都有f（1-x）=f（x），
則二次函數(shù)函數(shù)的對稱軸為x=

1

2

，
又△ABC為銳角三角形，并且A+B＞

π

2

，即A＞

π

2

-B，
所以sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，
所以sinA-cosB＞0，
所以二次函數(shù)開口向上，對稱軸為：x=0.5，所以①正確，③錯誤；排除A，C選項(xiàng)．
由二次函數(shù)對稱軸x=

1

2

=

sinB-cosA

2(sinA-cosB)

，
所以sinB-cosA=sinA-cosB，
所以sinB+cosB=sinA+cosA，平方整理得sin2B=sin2A，所以A=B或A+B=

π

2

；故②錯誤；排除D選項(xiàng)．
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．