Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，與拋物線交于兩點A、B，將直線AB按向量平移到直線l，N為l上的動點．
（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的定義得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，再由已知條件，得到拋物線的方程；
（2）設直線l的方程及N點坐標和A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量坐標運算，求得
的以N點坐標表示的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最值的方法，可求得所求的最小值．
解答：解：（1）由條件知，則，消
去y得：，則x₁+x₂=3p，
由拋物線定義得|AB|=x₁+x₂+p=4p
又因為|AB|=8，即p=2，則拋物線的方程為y²=4x．
（2）直線l的方程為：，于是設，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則
即
由第（1）問的解答結合直線方程，不難得出
且y₁+y₂=x₁+x₂-p=2p，
則
當時，的最小值為
點評：此題考查拋物線的定義，及向量坐標運算．