Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，函數(shù)的兩個極值點為， ，且.求證： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）對求導數(shù)，求出可得切線斜率，因為切點為有，根據(jù)點斜式可得切線方程；（2）在上有兩個不等的實根，即有兩個不等的實根， ，可得，且， ，令，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求其最小值，進而可得結論.

由的關系，用把表示出來，求出的表達式與取值范圍即可得到結論.

（Ⅰ）因為，所以， ，于是有：

， ，切點為.

故切線方程為.

（Ⅱ）因為函數(shù)有兩個極值點，所以在上有兩個不等的實根，

即有兩個不等的實根， ，可得，且，

因為，則，可得.

， ，

令， ， ，

，又， 時， ，

而，故在上恒成立，

所以在上恒成立，

即在上單調遞減，

所以，得證.

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的極值以及不等式證明問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.