Question

3．函數(shù)f（x）=|x-2|+|2x-2015|+|x+2|+|2x+2015|（x∈R），則使方程f（m²-3m+2）=f（m-1）成立的整數(shù)m的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 2個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 5個(gè)
• D． 6個(gè)

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)解析式，分析函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而確定使方程f（m²-3m+2）=f（m-1）成立的整數(shù)m的個(gè)數(shù)，可得答案．

解答 解：∵f（x）=|x-2|+|2x-2015|+|x+2|+|2x+2015|=$\left\{\begin{array}{l}-6x，x≤-\frac{2015}{2}\\-2x+4030，-\frac{2015}{2}＜x＜-2\\ 4034，-2≤x≤2\\ 2x+4030，2＜x＜\frac{2015}{2}\\ 6x，x≥\frac{2015}{2}\end{array}\right.$為偶函數(shù)，
且f（x）在（-∞，-2]上為減函數(shù)，在[2，+∞）為增函數(shù)，在[-2，2]上為常數(shù)函數(shù)；
故方程f（m²-3m+2）=f（m-1）成立時(shí)，
m²-3m+2=m-1，或m²-3m+2=-m+1，或m²-3m+2∈[-2，2]且-m+1∈[-2，2]，
解得：m=0，或m=1，或m=2，或m=3，
即使方程f（m²-3m+2）=f（m-1）成立的整數(shù)m的個(gè)數(shù)是4個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，難度中檔．